Die optimale Reihenfolge der Elfmeterschützen läßt sich ausrechnen. Das zeigt der Dortmunder Physikprofessor Metin Tolan in seinem sehr schönen Buch "So werden wir Weltmeister: Die Physik des Fußballspiels". Eine kurze Besprechung des Buchs finden Sie zum Beispiel hier.
In diesem Fall geht es allerdings nicht um Physik, sondern um Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Beim Elfmeterschießen hat eine Mannschaft dann gewonnen, wenn sie bei den ersten fünf Versuchen mehr Tore erzielt hat als der Gegner; danach geht es bei Gleichstand anders weiter (ein Tor Vorsprung genügt).
Wenn wir nun diese ersten fünf Versuche jeder Mannschaft betrachten, dann ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine Mannschaft N Tore schießt, gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten, daß jeder von N Spielern ein Tor schießt.
Wenn zum Beispiel der Spieler A mit einer Wahrscheinlichkeit von p(A)=.95 trifft, der Spieler B mit einer Wahrscheinlichkeit von p(B)=.85 und der Spieler C mit einer Wahrscheinlichkeit von p(C)=.75, dann ist die Wahrscheinlicheit dafür, daß alle drei Bälle im Tor landen p(A,B,C)=.606.
Das gilt allerdings nur dann, wenn die Spieler die Nerven behalten und jeder seine volle Leistung bringt; egal, wann er schießt. Was aber nicht realistisch ist.
Denn jetzt kommt die Reihenfolge der Schützen ins Spiel. Tolan nimmt an, daß sich mit jedem Schuß die nervliche Belastung erhöht, die Leistung also schlechter wird. Nehmen wir einmal an, sie sinkt mit jedem Schuß jeweils um zehn Prozent der maximal möglichen Leistung von p=1.0.
Dann sähen die Trefferwahrscheinlichkeiten in dem obigen Beispiel, wenn in der Reihenfolge A --> B --> C geschossen wird, so aus: P(A)=.95; P(B)=.75; p(C)=.55. Das ergibt p(A,B,C)=.392.
In diesem Fall war der stärkste Schütze zuerst angetreten und der schwächste zuletzt. Wie sieht es nun aus, wenn wir die Reihenfolge umkehren und erst den schwächsten und zuletzt den stärksten Elfmeterschützen antreten lassen?
Dann haben wir p(A)=.75, p(B)=.75 und p(C)=.75; denn die Leistung von C, der jetzt als erster antritt, ist gar nicht durch zusätzlichen Stress reduziert, die von B aber um 10 Prozentpunkte und die von A, dem besten Schützen, der jetzt aber zuletzt antritt, um 20 Prozentpunkte.
Für die Verbundwahrscheinlichkeit, daß alle drei treffen, bekommen wir jetzt p(A,B,C)=.422, also einen besseren Wert als bei der umgekehrten Reihenfolge.
Dieses Beispiel finden Sie so nicht in dem Buch von Tolan. Mir scheint es aber illustrativ zu sein. Das Ergebnis hängt nicht an dieser Illustration, denn allgemein gilt: Wenn die Summe von N Faktoren konstant ist, dann ist ihr Produkt umso größer, je weniger sie sich voneinander unterscheiden.
Mir hat das einmal ein Mitarbeiter, der Mathematiker war, anhand der Frage erklärt, warum es auf langen, schmalen Gängen immer so kühl ist: Weil bei einer gegebenen Grundfläche die Gesamt-Wandlänge umso größer ist, je mehr sich die kurzen und die langen Wände voneinander unterscheiden.
Oder andersherum gesagt: Wenn Robinson Crusoe nur eine bestimmte Zahl von Palisaden zur Verfügung hatte und sich mit ihnen ein rechteckiges Refugium bauen wollte, dann bekam er den größten Wohnraum dann, wenn er alle vier Wände gleich lang machte.
Und wenn unsere Jungs heute Abend ins Elfmeterschießen müssen, dann ist ihre Chance dann am größten, wenn die Schwächsten zuerst und die Stärksten zuletzt schießen, so daß sich die Trefferwahrscheinlichkeiten einander annähern.
Es sei denn ...
Es sei denn, daß andere Faktoren eine Rolle spielen, die Tolan nicht in seine Überlegungen einbezogen hat. Zum Beispiel, daß spätere Schützen sicherer werden, wenn die vorausgehenden getroffen haben. Zum Beispiel, daß man die gegnerische Mannschaft demoralisieren kann, wenn man die ersten Elfmeter im Tor versenkt.
Wenn man solche weiteren Faktoren berücksichtigt, dann wackelt die schönste Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Man müßte sie irgendwie in die Berechnung einbeziehen, aber dann wird die Sache arg willkürlich.
Beim Fußball spielt eben - auch das betont Tolan - der Zufall eine große Rolle; siehe auch Warum ist der Fußball eine so attraktive Sportart?; ZR vom 12. 6. 2010. Und von Zufall sprechen wir bekanntlich dann, wenn ein Ereignis von sehr vielen Faktoren abhängt, die wir nicht genau genug kennen, um ein exaktes Ergebnis vorherzusagen.
In diesem Fall geht es allerdings nicht um Physik, sondern um Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Beim Elfmeterschießen hat eine Mannschaft dann gewonnen, wenn sie bei den ersten fünf Versuchen mehr Tore erzielt hat als der Gegner; danach geht es bei Gleichstand anders weiter (ein Tor Vorsprung genügt).
Wenn wir nun diese ersten fünf Versuche jeder Mannschaft betrachten, dann ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine Mannschaft N Tore schießt, gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten, daß jeder von N Spielern ein Tor schießt.
Wenn zum Beispiel der Spieler A mit einer Wahrscheinlichkeit von p(A)=.95 trifft, der Spieler B mit einer Wahrscheinlichkeit von p(B)=.85 und der Spieler C mit einer Wahrscheinlichkeit von p(C)=.75, dann ist die Wahrscheinlicheit dafür, daß alle drei Bälle im Tor landen p(A,B,C)=.606.
Das gilt allerdings nur dann, wenn die Spieler die Nerven behalten und jeder seine volle Leistung bringt; egal, wann er schießt. Was aber nicht realistisch ist.
Denn jetzt kommt die Reihenfolge der Schützen ins Spiel. Tolan nimmt an, daß sich mit jedem Schuß die nervliche Belastung erhöht, die Leistung also schlechter wird. Nehmen wir einmal an, sie sinkt mit jedem Schuß jeweils um zehn Prozent der maximal möglichen Leistung von p=1.0.
Dann sähen die Trefferwahrscheinlichkeiten in dem obigen Beispiel, wenn in der Reihenfolge A --> B --> C geschossen wird, so aus: P(A)=.95; P(B)=.75; p(C)=.55. Das ergibt p(A,B,C)=.392.
In diesem Fall war der stärkste Schütze zuerst angetreten und der schwächste zuletzt. Wie sieht es nun aus, wenn wir die Reihenfolge umkehren und erst den schwächsten und zuletzt den stärksten Elfmeterschützen antreten lassen?
Dann haben wir p(A)=.75, p(B)=.75 und p(C)=.75; denn die Leistung von C, der jetzt als erster antritt, ist gar nicht durch zusätzlichen Stress reduziert, die von B aber um 10 Prozentpunkte und die von A, dem besten Schützen, der jetzt aber zuletzt antritt, um 20 Prozentpunkte.
Für die Verbundwahrscheinlichkeit, daß alle drei treffen, bekommen wir jetzt p(A,B,C)=.422, also einen besseren Wert als bei der umgekehrten Reihenfolge.
Dieses Beispiel finden Sie so nicht in dem Buch von Tolan. Mir scheint es aber illustrativ zu sein. Das Ergebnis hängt nicht an dieser Illustration, denn allgemein gilt: Wenn die Summe von N Faktoren konstant ist, dann ist ihr Produkt umso größer, je weniger sie sich voneinander unterscheiden.
Mir hat das einmal ein Mitarbeiter, der Mathematiker war, anhand der Frage erklärt, warum es auf langen, schmalen Gängen immer so kühl ist: Weil bei einer gegebenen Grundfläche die Gesamt-Wandlänge umso größer ist, je mehr sich die kurzen und die langen Wände voneinander unterscheiden.
Oder andersherum gesagt: Wenn Robinson Crusoe nur eine bestimmte Zahl von Palisaden zur Verfügung hatte und sich mit ihnen ein rechteckiges Refugium bauen wollte, dann bekam er den größten Wohnraum dann, wenn er alle vier Wände gleich lang machte.
Und wenn unsere Jungs heute Abend ins Elfmeterschießen müssen, dann ist ihre Chance dann am größten, wenn die Schwächsten zuerst und die Stärksten zuletzt schießen, so daß sich die Trefferwahrscheinlichkeiten einander annähern.
Es sei denn ...
Es sei denn, daß andere Faktoren eine Rolle spielen, die Tolan nicht in seine Überlegungen einbezogen hat. Zum Beispiel, daß spätere Schützen sicherer werden, wenn die vorausgehenden getroffen haben. Zum Beispiel, daß man die gegnerische Mannschaft demoralisieren kann, wenn man die ersten Elfmeter im Tor versenkt.
Wenn man solche weiteren Faktoren berücksichtigt, dann wackelt die schönste Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Man müßte sie irgendwie in die Berechnung einbeziehen, aber dann wird die Sache arg willkürlich.
Beim Fußball spielt eben - auch das betont Tolan - der Zufall eine große Rolle; siehe auch Warum ist der Fußball eine so attraktive Sportart?; ZR vom 12. 6. 2010. Und von Zufall sprechen wir bekanntlich dann, wenn ein Ereignis von sehr vielen Faktoren abhängt, die wir nicht genau genug kennen, um ein exaktes Ergebnis vorherzusagen.
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